BLOGCZEJNalpha

Korzyści płynące z łamania tradycji

vintage-649760_1920.jpg

Przewrotny tytuł. Oczywiście nie chodzi tu o tradycje kulturowe, ale o te związane z naukami ścisłymi. Pierwsze powinniśmy zachowywać, cywilizacja sama się nie zrobi. Ale te drugie niekoniecznie — zaleca się sporą dawkę sceptycyzmu. Pytanie: dlaczego?

Motywem przewodnim, który będzie towarzyszył Czytelnikowi przez cały tekst będzie prosty przykład — postulat równoległości, zwany V postulatem Euklidesa:

Jeżeli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty jednostronne wewnętrzne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to proste te przecinają się z tej strony trzeciej prostej, z której suma ta jest mniejsza od dwóch kątów prostych

Jak zdefiniować prostą równoległą do drugiej prostej? Kiedy dwie proste są równoległe? Trywialna rzecz, prawda? Okazuje się, że niekoniecznie. Matematycy przez ponad 2000 lat głowili się nad tym problemem. To w zasadzie nic nowego, że rzeczy najbardziej elementarne są najtrudniejsze do zdefiniowania w sposób jasny i klarowny. Tak było i tym razem. Problem tkwił w tym, czy postulat równoległości wynika z poprzednich postulatów postawionych przez Euklidesa (ok. 300 r. p. n. e.), a rozszerzonych przez Archimedesa, czy może jest postulatem niezależnym, dodatkowym? Jeżeli zachodzi pierwszy przypadek to postulat równoległości może zostać pominięty bez szkody dla teorii. Jeśli zachodzi drugi przypadek — trzeba to jasno zdefiniować. W jednym i drugim przypadku zaś należy podać ścisły dowód. Rozwiązanie tego problemu pojawiło się dopiero w XIX wieku, jednakże w matematycznym światku już od XVII trwała zagorzała dyskusja.

writing-104091_1920.jpg

Istnieją momenty nacechowane tak ogromnym przesyceniem w danej dziedzinie, że tę samą myśl formułuje kilka osób jednocześnie i niezależnie od siebie. Newton i Leibniz są uważani za ojców rachunku różniczkowego i całkowego (mała dygresja: jest to wielki błąd. Matematyków od dawna interesował problem znalezienia stycznej do danej krzywej — podstawowe zadanie rachunku różniczkowego i znalezienia pola objętego daną krzywą – podstawowe zadanie rachunku całkowego. Newton i Leibniz stwierdzili związek między tymi dwoma zagadnieniami i wprowadzili do matematyki jednolitą metodę). Idźmy dalej. Fermat i Kartezjusz niezależnie od siebie odkryli geometrię analityczną. Teorię wymiaru z kolei sformułowali Menger i Urysohn.

Tak było i tym razem. Krytycy i komentatorzy Euklidesa zaczęli mocno ujawniać się w XVII i XVIII wieku: matematyk włoski G. Saccheri, szwajcarski matematyk J. H. Lambert i Francuz A. M. Legendre. Ich wkład polegał głównie na konfrontacji z utartą tradycją geometrii euklidesowej, nie doszli jeszcze do sformułowania nowej geometrii. Rozwijali konsekwentnie geometrię zwaną geometrią absolutną, czyli geometrię Euklidesa pozbawioną postulatu równoległości. Matematyka musiała czekać do XIX wieku na odważny krok formułujący geometrię nieeuklidesową Bolyai-Łobaczewskiego — od nazwisk twórców. Węgierski matematyk Janos Bolyai (1802 – 1860) i rosyjski matematyk Mikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1793 – 1856) postanowili, że sformułują geometrię, w której postulat równoległości jest zaprzeczony. Warto tu jeszcze wspomnieć, że matematyk niemiecki Karol Fryderyk Gauss (1777 – 1855) znacznie wcześniej doszedł do tych wyników, jednakże nigdy ich nie opublikował z obawy przed krytyką idei tak bardzo odbiegającej od powszechnie przyjętych. Gauss stracił zatem priorytet odkrycia geometrii nieeuklidesowej na rzecz Łobaczewskiego i Bolyai. Obawy Gaussa miały jednak swoje racje. Dzieło rosyjskiego i węgierskiego matematyka były powszechnie uznawane za patologie naukowe, a nawet określane satyrą zwróconą przeciwko matematyce. Nie trwało to długo, jednakże – jak często bywa – uznanie w świecie naukowym nadeszło dopiero po śmierci twórców. Feliks Klein w 1871 r. sformułował zasadniczą myśl niesprzeczności geometrii Bolyai-Łobaczewskiego, w 1899 r. Dawid Hilbert przeprowadza pełny dowód niesprzeczności geometrii Euklidesa, w 1903 r. w podobny sposób udowadnia niesprzeczność geometrii Bolyai-Łobaczewskiego. Od tego momentu obie geometrie są jednakowo poprawne pod względem logicznym.

fractal-2880199_1280.jpg

Dlaczego trwało to tak długo? Dlaczego matematyka przez 2000 lat nie mogła ruszyć z miejsca z pozornie prostym problemem i co się działo przez te 2000 lat?
Euklides sądził, że stwarza układ pojęć wystarczających do zbudowania geometrii i na ich podstawie będzie można charakteryzować kolejne zjawiska, stwarzać nowe pojęcia itp. Tak jednak nie było. Geometria euklidesowa nie jest w pełni spójna logicznie. Autor korzysta z pewnych formuł nie podając dowodu ich istnienia. Jednakże wielkość dzieła Euklidesa jest niezaprzeczalna, to jemu zawdzięczamy pierwsze próby zbudowania teorii aksjomatycznej. I ta wielkość rosła z każdym rokiem przez 2000 lat. Każdy rok sprawiał, że korzeń Elementów był coraz głębiej i coraz trudniej było podjąć z nimi polemikę. Gdyby geometrię nieeuklidesową sformułował Archimedes żyjący ok. 50 lat po Euklidesie to nie byłoby żadnej znaczącej reakcji. Jednakże przez 2000 lat utarła się niejako tradycja geometrii euklidesowej. Każdy dzień — niczym woda drążąca skałę — odkładał w umysłach ludzkich nieznaczny ułamek pewności, że coś jest czarne, a nie białe. Pewności, która konsekwentnie dąży do nazwania się pewnikiem, aksjomatem. Im później się zabierzemy za polemikę, tym grubszy mur do przebicia. Łobaczewski i Bolyai przekonali się o tym na własnej skórze. Istnieje jednak różnica między łamaniem tradycji, których autorką jest wyłącznie logika (jak np. w matematyce), a łamaniem tradycji kulturowej, w której główną autorką jest historia i sami ludzie, logika może być co najwyżej recenzentką. Świat byłby bardzo ubogi (ten matematyczny, fizyczny, ale również i kulturowy), gdyby nie szaleńcy z wrodzonym sceptycyzmem, którym natura nakazuje sprawdzić, czy każde 2+2 jest rzeczywiście 4.



zdjęcia: pixabay

KOMENTARZE