BLOGCZEJNalpha

O pewnym biegu na orientację, który z czasem zmienił się w bieg na abstrakcję. Kwaterniony.

wanderer-177370_1920.jpg

Wyobraźmy sobie, że człowiek jest na tyle prymitywną istotą, że patrzy tylko w jednym kierunku i porusza się tylko do przodu po linii prostej, o stałych, arbitralnie określonych krokach. Jakże uboga byłaby ta ziemska wędrówka. Nie można nawet spojrzeć wstecz, nie można rzucić okiem na to, co zostało za nami.
A teraz rozszerzmy nasz horyzont (pozostając jednak na tym samym kierunku) o możliwość poruszania się i spoglądania do tyłu. Teraz już mamy nieco więcej swobody. Jednakże ciągle ogrom świata pozostaje białą plamą i nic nie odróżnia nas od pociągowego konia z klapkami na oczach. W dodatku nasz ruch wygląda jak kiepskiej jakości animacja, w której ciągle liczymy na to, że obraz stanie się płynny. Tak jednak nie będzie. To nie wina grafika, ale więzów, które narzucamy na nasze postrzeganie.
Idziemy jednak dalej. Wprowadźmy możliwość poruszania się, w której długość kroku jest absolutnie dowolna. Nie jest już najgorzej, jednakże nadal mamy do dyspozycji tę samą linię prostą.
Kolejna modyfikacja będzie wprawiała w szok wszystkich ludzi, którzy przywykli do obecnego stanu rzeczy. Wprowadźmy możliwość obrotu o 360 stopni w płaszczyźnie horyzontalnej, a następnie tę samą cechę w płaszczyźnie wertykalnej. I dopiero wtedy czujemy, że wolność nieskrępowanych ruchów została nam zwrócona.



https://cdn.steemitimages.com/DQmPiJD4wntewdoGDoxwZVWWg7tP3MTUfQEsfc6JHBfuvLH/sparks-265850_1920.jpg

Taka wyglądała właśnie ewolucja teorii zbiorów. Trasa biegu na orientację, która początkowo przebiegała po zbiorze liczb naturalnych, musiała zaliczyć punkt kontrolny w postaci równań niemających rozwiązania w tym zbiorze. Z czasem nasza orientacja musiała ustępować miejsca bardziej wyabstrahowanym pojęciom. Kolejne problemy algebraiczne rodziły potrzebę do sformułowania nowych kierunków na jednokierunkowej mapie algebry zbiorów. I dziś możemy operować na liczbach rzeczywistych, liczbach zespolonych, a o kolejnych liczbach, będących uogólnieniem tych ostatnich — nieco dalej.

Najpierw mieliśmy do dyspozycji zbiór liczb naturalnych, który jednak nie dawał możliwości na rozwiązanie prostego równania takiego jak np.

x + 13 = 5

Następnie rozszerzyliśmy ten zbiór na zbiór liczb całkowitych, w których powyższe równanie ma rozwiązanie. Powstał jednak kolejny problem. Tym razem równanie typu

x² — 2 = 0

okazało się nie do rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych. I tak narodził się pomysł o liczbach niewymiernych i zbiorze liczb rzeczywistych. Czy to miejsce nas w pełni satysfakcjonuje? Czy poruszanie się po linii prostej o dowolnie określonym kroku jest szczytem myśli ludzkiej? Oczywiście, że nie. Ponownie zbiór liczb, który stanowił największe uogólnienie ówczesnych zbiorów, wpakowaliśmy do zbioru większego jako podzbiór. Ten większy zbiór to rzecz jasna zbiór liczb zespolonych, który daje nam możliwość obrotu w płaszczyźnie horyzontalnej. Na tym jednak się nie zatrzymaliśmy. Niewiele trzeba wysiłku, żeby dostrzec, że świat wokół nas nie jest dwuwymiarowy. A więc dodając obrót w płaszczyźnie wertykalnej dodalibyśmy trzeci wymiar, a tym samym dopełnilibyśmy nasze postrzeganie rzeczywistości. I tu pojawia się pytanie: skoro rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych nazwaliśmy liczbami zespolonymi, które umożliwiają nam obrót w płaszczyźnie horyzontalnej, to jak nazwać zbiór liczb, który dodatkowo stanowi uogólnienie zbioru liczb zespolonych, umożliwiając obrót w płaszczyźnie wertykalnej?

triangulation-1899948_1920.jpg

William Rowan Hamilton (1805-1865) — irlandzki matematyk — usiłował taki system zbudować. Intuicja podpowiada, że system ten będzie opisany w przestrzeni trójwymiarowej. Każdy bowiem element zbioru — jeśli pretenduje do miana liczby — musi poddać się obowiązującym regułom: dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, dzieleniu etc. I o ile z dodawaniem nie ma problemu, to z mnożeniem nie jest tak prosto. Hamilton doszedł do wniosku, że przestrzeń 3-wymiarowa się do tego nie nadaje i należy szukać rozwiązania w wyższych wymiarach, np. 4-ech. Tak właśnie powstały kwaterniony, czyli liczby hiperzespolone.
Kwaternion to liczba postaci

q = a + bi + cj + dk,

gdzie a, b, c, d to liczby rzeczywiste, a i, j, k określają osie trójwymiarowej przestrzeni zespolonej. "a" oznacza w tym wypadku 4-tą oś — oś rzeczywistą.
Pierwotnym celem Hamiltona było wynalezienie nowego rodzaju liczby i określenie dla niej nowego rodzaju mnożenia, tak aby obrót przestrzeni trójwymiarowej dał się w prosty sposób interpretować za pomocą tego mnożenia (analogicznie do liczb zespolonych).


Piaskowa rzeźba autorstwa Daniela Doyle'a przedstawiająca Williama Hamiltona w towarzystwie małżonki w momencie zapisywania fundamentalnej zasady rządzącej kwaternionami

Z wynalezieniem sposobu mnożenia kwaternionów jest związana ciekawa historia z życia irlandzkiego matematyka. Pewnego dnia w 1843 r. Hamilton spacerował wraz ze swoją małżonką po bulwarze w Dublinie. I właśnie wtedy, podczas spaceru, wymyślił jak mnożyć kwaterniony. Tak bardzo podekscytował się tym pomysłem, że zaraz wyciągnął scyzoryk i wyciął nim na moście klucz do tego problemu:

i² + j² + k² = ijk = -1

Dodawanie w nowym systemie liczb jest oczywiste, ale mnożenie już nie do końca. Okazuje się, że mnożenie kwaternionów Hamiltona nie jest przemienne, tzn. ij = k, ale ji = -k. Stanowi to klucz do ich działania. Cel został osiągnięty. Kwaterniony doczekały się pewnego uhonorowania. Stosowane sa jako alternatywa dla kątów Eulera do wyrażania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Duże zastosowania widać w grafice komputerowej i tworzeniu animacji. Klasy obsługujące kwaterniony zawiera m. in. pakiet DirectX, a także wiele silników 3D. Ścisła matematyka także z nich korzysta, w szczególności są stosowane w geometrii różniczkowej, teorii liczb oraz do rozwiązywania równań różniczkowych.

A tutaj wizualizacja działania kwaternionów.
https://quaternions.online/



zdjęcia: pixabay.com, www.annevanweerden.nl



Wpis dodany jako nawiązanie do tematu pierwszego 31. edycji Tematów Tygodnia.

KOMENTARZE

  • veggie-sloth

    Świetnie piszesz o matematyce! O dziwo, nawet zrozumiałem :D Dzieki!